Siano dati n eventi A1,A2,...,An in cui il risultato sia esclusivo dominio del caso prescindendo inoltre dai risultati che si conseguono nella successione delle prove, più precisamente che gli eventi siano fra loro indipendenti. Ad ogni prova può allora essere associata una variabile casuale di Bernoulli che assume il valore uno se Ai, i=1,...,n si verifica, il che può accadere con probabilità p, o il valore 0, se Ai, i=1,...,n non si verifica, il che può accadere con probabilità q=(1-p).

Il procedimento usato per calcolare la distribuzione di probabilità può essere spiegato mediante la legge delle probabilità totali. In questo modo la probabilità che si verifichino esattamente r eventi tra gli n dati è data dalla somma delle probabilità che si ottengono fissando r eventi, che si verificano, tra gli n eventi dati, mentre gli altri n-r non si verificano. Gli addendi che concorrono a formare la probabilità corrispondono al numero di modi in cui si possono scegliere gli r eventi. Ciascun addendo è la probabilità dell'intersezione di r eventi "positivi" (quindi ) e n-r "negativi" (quindi ).

A questo punto i casi che si ottengono dalla successione di prove sono riassumibili in:

-l'evento non si verifica in nessuna prova.. ;
- l'evento si verifica in una delle n prove, non importa quale... ;
- l'evento si verifica in r delle n prove, non importa quali... ;
- l'evento si verifica in tutte n le prove...

In generale, si chiama Binomiale la variabile casuale che in n prove indipendenti nei riguardi di un evevnto A di probabilità costante e pari a p assume il valore r con probabilità:
ove r=0,1,...,n e 0<p<1.

Si controlla immediatamente che