Test per variabili casuali binomiali

Introduzione
Il test binomiale viene applicato quando è possibile considerare la popolazione composta da due soli classi che indicheremo convenzionalmente con 0 ed 1, in cui P rappresenta la probabilità associata alla classe 1 e Q=(1-P) quella associata alla classe 0. Verrà quindi impiegato qualora, osservato un campione in cui ci sono x osservazioni della categoria 1 e n-x osservazioni della categoria 0, si vuole verificare se il campione è stato estratto da una popolazione in cui P è la probabilità di trovare unità statistiche appartenenti alla classe 1 e Q=(1-P) la probabilità di trovare unità statistiche appartenenti alla classe 0.
E' un test particolarmente utile per piccoli campioni.
Ipotesi
Il test binomiale viene applicato quando si è in presenza di n repliche identiche e indipendenti di un esperimento casuale di esito dicotomico.
Sistema di ipotesi
La più classica applicazione della distribuzione di probabilità binomiale riguarda il calcolo della probabilità che si presenti x volte testa su n lanci di una moneta. Il ricercatore una volta condotto l'esperimento (10 lanci della moneta) potrebbe voler verificare se la moneta è buona o se è stata truccata. Dovrà quindi considerare uno dei seguenti sistemi di ipotesi:

	H0 : p=0.5 (moneta non truccata)	oppure		H0 : p=0.5 (moneta non truccata)
	H1 : p<>0.5 (moneta non truccata)			H1 : p>0.5 (moneta non truccata)

Statistica test
Nel caso di piccoli campioni (come nel nostro esperimento) si considererà la probabilità esatta associata al risultato osservato sotto l'ipotesi H0. Quindi si userà la probabilità originata dalla nota distribuzione binomiale:

Nel caso in cui si possa disporre un un grande campione è possibile utilizzare una statistica test diversa, ottenuta sfruttando la convergenza della distribuzione binomiale alla distribuzione normale. Si utilizzerà allora la statistica:

Livello di significatività e ampiezza del campione
Si fisserà un livello di significatività appropriato, verrà qui considerato un pari a 0.05 e si utilizzerà un campione composto da 10 osservazioni.
Applicazione
Nel caso di piccoli campioni si calcolerà la probabilità esatta associata ai possibili risultati sotto l'ipotesi nulla, ottenendo così la seguente distribuzione:

Si considererà come regione di rifiuto l'insieme dei risultati la cui somma delle probabilità sia inferiore oppure uguale ad . Quindi nel caso in cui l'ipotesi alternativa sia semplice (H1<>0.5) si considereranno entrambe le code della distribuzione e di conseguenza si rifiuterà H0 se il risultato sarà 0, 1, 9 oppure 10 teste, in quanto
0.001(Pr[x=0]) + 0.01(Pr[x=1]) + 0.01(Pr[x=9]) + 0.001(Pr[x=10]) = 0.022 < 0.05.
Se invece il ricercatore vuole verificare l'ipotesi H1 > 0.5 l'attenzione si sposterà solo su una coda della distribuzione, in particolare sulla coda destra essendo interessati ai valori più grandi di 0.5. Quindi si rifiuterà l'ipotesi nulla se il risultato dell'esperimento sarà 9 o 10, infatti
0.01(Pr[x=9]) + 0.001(Pr[x=10]) = 0.011 < 0.05, mentre
0.044(Pr[x=8]) + 0.01(Pr[x=9]) + 0.001(Pr[x=10]) = 0.055 è maggiore di 0.05.